27/4/10

¿Por qué un sistema sexagesimal babilónico?


"La civilización babilonia de Mesopotamia reemplazó a las civilizaciones sumeria y acadia. En nuestro artículo sobre las matemáticas babilonias damos el trasfondo histórico de estos acontecimientos. Ciertamente, en cuanto al sistema numeral los babilonios heredaron ideas de los Sumerios y de los Acadios. De los sistemas numerales de estos predecesores provenía la base 60, es decir, el sistema sexagesimal. Sin embargo, ni el sistema acadio ni el sumerio eran posicionales, y este avance de los Babilonios fue indudablemente su mayor logro en el desarrollo del sistema numérico. Algunos incluso dirían que fue su mayor logro en matemáticas.

A menudo, al oír que el sistema numérico babilónico era de base 60, la primera reacción de la gente es: cuántos símbolos numéricos específicos tenían que haber aprendido. Por supuesto, este comentario se deriva del conocimiento de nuestro propio sistema decimal, que es un sistema posicional con nueve símbolos específicos y un símbolo cero para denotar un lugar vacío. Sin embargo, en lugar de tener que aprender 10 símbolos como tenemos que hacer nosotros para usar nuestro sistema decimal, los Babilonios sólo tenían que aprender dos símbolos para producir su sistema posicional de base 60.

Ahora bien, aunque el sistema babilónico era un sistema posicional de base 60, contenía ciertos vestigios de un sistema de base 10. Esto es así porque cada uno de los 59 números que van en cada posición se construye con un símbolo de unidades y otro de decenas.




Finalmente deberíamos considerar la cuestión de por qué los Babilonios usaban un sistema numérico de base 60. La respuesta sencilla es que heredaron la base 60 de los Sumerios, pero eso no sirve de nada. Sólo nos lleva a preguntar por qué los Sumerios usaban base 60. El primer comentario sería que no tenemos que seguir retrocediendo, ya que podemos estar bastante seguros de que el sistema sexagesimal se inició con los Sumerios. El segundo punto es que los matemáticos modernos no han sido los primeros en hacer esta pregunta. Theon de Alejandría intentó responder esta pregunta en el siglo IV a. de C. y muchos historiadores de las matemáticas han propuesto sus opiniones desde entonces, sin que nadie haya llegado a dar una respuesta realmente convincente.

La respuesta de Theon era que 60 es el menor número divisible por 1, 2, 3, 4 y 5 de modo que se maximizaba el número de divisores. Aunque esto es cierto, parece una razón demasiado académica. Base 12 sería una candidata más probable si esta fuese la razón, pero ninguna civilización importante parece haber utilizado esta base. Por otro lado, muchas unidades de medida involucran el número 12; por ejemplo, se da frecuentemente en subdivisiones de pesos, monedas y longitudes. Por ejemplo, en las antiguas medidas británicas había doce pulgadas en un pie, doce peniques en un chelín, etc.

Neugebauer propuso una teoría basada en los pesos y medidas que usaban los Sumerios. Su idea es, básicamente, que un sistema decimal se modificó a base 60 para permitir dividir los pesos y medidas en tercios. Sabemos con certeza que el sistema de pesos y medidas de los Sumerios usaba 1/3 y 2/3 como fracciones básicas. Sin embargo, aunque puede que Neugebauer tenga razón, el contra argumento sería que el sistema de pesos y medidas era consecuencia del sistema numérico, en lugar de al contrario.

Algunas teorías se han basado en eventos astronómicos. La sugerencia de que 60 es el producto del número de meses en el año (lunas por año) por el número de planetas (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno) también parece demasiado precario como justificación de la base 60. El historiador de las matemáticas Moritz Cantor sugirió que una posible razón para usar base 60 era que se pensaba que el año tenía 360 días. Una vez más, esta idea no resulta convincente, ya que los Sumerios sabían con certeza que el año dura más de 360 días. Otra hipótesis se refiere a que el Sol recorre 720 veces su diámetro en un día, y como el día sumerio tenía 12 horas, se llega fácilmente al 60.

Algunas teorías se basan en la geometría. Por ejemplo, una teoría es que el triángulo equilátero era considerado por los Sumerios el bloque constructivo geométrico fundamental. Los ángulos de un triángulo equilátero son de 60º, así que divididos en 10 partes la unidad angular básica sería de 6º. Ahora bien, hay 60 de estas unidades básicas en una circunferencia, de modo que tenemos la razón propuesta para elegir 60 como base. Pero este argumento prácticamente se contradice a sí mismo, ya que ¡presupone que la unidad básica de división es 10!

Yo [EFR] opino que todas estas razones no merecen consideración seria. Quizás haya trucado un poco mi razonamiento, pero la frase que he utilizado 'elegir 60 como base' es muy significativa. Simplemente, no creo que ninguna civilización haya elegido nunca un número como base. ¿Puede imaginarse a los Sumerios formando un comité para decidir qué número usar como base? No, las cosas no ocurrieron así. La razón tiene que estar relacionada con la manera en la que se empezó a contar en la civilización sumeria, al igual que 10 fue la base en otras civilizaciones que empezaron a contar con los dedos de las manos, y veinte fue la base para los que contaban los dedos de pies y manos.

He aquí una manera en la que esto podría haber sucedido: se puede contar hasta 60 usando las dos manos. En la mano izquierda cada dedo tiene tres partes (excluyendo el pulgar). Las partes están separadas por las articulaciones de los dedos. Se puede contar hasta 60 apuntando a cada una de las 12 partes de los dedos de la mano izquierda (sin contar el pulgar) con cada uno de los 5 dedos de la mano derecha. De este modo se cuenta con los dedos hasta 60 en lugar de hasta 10. ¿Convincente?

Una variante de esta proposición ha sido propuesta. La teoría aparentemente más aceptada propone que la civilización sumeria debe de haber resultado de la unión de dos pueblos, uno de los cuales contaban en base 12 y el otro en base 5. Aunque 5 no es ni de lejos tan común como 10 como base entre pueblos antiguos, no es infrecuente y es utilizada por gentes que cuentan con los dedos de una mano. Esta teoría supone que después de la unión de los dos pueblos, al usarse los dos sistemas al comerciar entre sí, el sistema de base 60 surgiría de forma natural como el sistema entendido por todos.

También he oído esta teoría propuesta con los dos pueblos que se mezclan que usaban bases 10 y 6. Esta versión tiene la ventaja de que hay una unidad natural para 10 en el sistema babilónico, y se podría decir que es una reminiscencia del sistema decimal anterior. Una de las ventajas de estas teorías es que es posible que se hallen pruebas documentales de los dos sistemas que se entremezclaron, lo que probaría las conjeturas. No hay que pensar en la historia como un tema muerto. Al contrario, nuestros puntos de vista cambian continuamente a medida que las últimas investigaciones aportan nuevas pruebas e interpretaciones. "





J J O'Connor y E F Robertson, Artículo "La numeración babilónica" publicado en MacTutor History of Mathematics Archive, 2000

3 comentarios:

  1. Muy interesante tu entrada. Realmente es una pregunta que mucha gente se hace, el porqué del sistema sexagesimal para, por ejemplo, las medidas de tiempo o la puntuación en el tenis (aunque no tengo muy claro lo de cambiar el 45 por 40).Si es que al final casi toda la matemática proviene de las cosas más elementales como los dedos que tenemos en la mano.

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  2. Se decía también del sistema sexagesimal por el tripartido de todos los dedos del cuerpo, léase: las tres divisiones de la articulación propia de cada uno de los dedos de la mano, 5x3=15, por dos manos, 30, más dos pies, 60.

    Aun así, está el asunto por averiguar, sin duda, como todo. Pero siempre va bien intentar imaginar, razonar y entender...!

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  3. Ei Angelillo! m'ha fet molta il·lusió el teu dibuix! t'ho esperes menys que una foto... com mola trobar coses inesperades en racons, calaixos, caixes... :D

    si em permets, algun dia la pujaré al blog!!!!

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